金沙澳门官网58588就称A可对角化.

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  内 容 简 介,矩阵的特征值问题是线性代数理论中的 最重要的问题之一.在工程技术领域,有许多 问题,诸如振动问题、稳定性问题、弹性力 学问题等常常归结为求矩阵的特征值和特征 向量.本章将先介绍一般方阵特征值最基本 的概念与相似对角化理论,然后再介绍实对 称矩阵的特征值与对角化理论.,第五章 矩阵的特征值与对角化,1.特征值与特征向量的概念与计算 2. 特征值与特征向量的性质,§5.1 矩阵的特征值与特征向量,定义5.1.1 设A是n阶复实矩阵,若为复实 数,0是一复实 n维向量,使得,A    0 ,,则称为A的特征值, 为A的属于的特征向量.,1 只有方阵才有特征值和特征向量;,2 特征向量是非零向量.,说明,1. 特征值与特征向量的概念与计算,定义5.1.2 设A是n阶矩阵,的多项式, I  A ,称为A的特征多项式,并记为 fA   I  A.,fA   I  A0称为A的特征方程,特征方程的 根即为A的特征值.  I  A称为A的特征矩阵。,求矩阵特征值与特征向量的步骤,定义 对方程 f x 0,若有x* 使得f x* 0,则称 x*为方程 f x 0的根或函数f x的零点.特别是, 如果函数f x能写成 f x  x  x* m gx且gx*0, m 1,则称x*为f x 0的m重根,或为f x 0的m重 零点.一重根m 1通常称为单根.,例1 设,求A的特征值与特征向量.,解,得基础解系为,例2,解,例3 证明若  是矩阵 A的特征值,是 A的属于的特征向量,则m必为Am的特征值,这里m为正整数.,证明, 比例3更一般的结论,若  是矩阵 A的特征值,是 A的属于的特征向 量,gx asxs as1xs1 a1x a0 为任一 多项式,试用特征值定义证明 g 是矩阵多项 式gA asAs as1As1 a1A a0I的特征 值, 仍是gA 的属于g 的特征向量。,例4 设 A是 n 阶方阵,其特征多项式为,解,说明,但特征向量不一定相同。,特别地对角矩阵,它们的特征值均为主对角元 a11,a22,,ann .,三角形矩阵,2. 特征值与特征向量的性质,性质1 设 A  aij是n阶矩阵,则,性质2 n阶矩阵设 A有且仅有n个特征值,其中 m重特征值以m个计.,性质3 设1 , 2 ,  , n为 A的n个特征值i未必互异,则,3 A不可逆 A 0  A有零特征值.,2 A可逆 A 0  A的特征值均非零;,且若为可逆矩阵A的特征值,则1为A1的特征值.,且 AX 0的基础解系即为属于零特征值的线性无关 的特征向量.,注,1 可用此性质验证所求的特征值是否正确;,定义 称特征子空间V0的维数dimV0为0的几何重数.,性质5 设0为A的m重特征值,则dimV0  m .,即特征值的几何重数不超过其代数重数.,,特别地 m 1时, dimV0 1.,dimV0nr0I  A 0对应的线性无关的特征向量的个数,注意,特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,,一个特征值具有的特征向量不唯一;,但一个特征向量不能属于不同的特征值.,1. 矩阵的对角化,§5.2 矩阵的对角化,定义5.2.1 设A,B为两个n阶矩阵.若有可逆矩阵 P,使得P 1AP B.则称A与B 相似,记作A~B.,注矩阵相似关系满足,1 反身性A~A;,2 对称性若A ~ B则B ~ A;,3 传递性若A ~ B,B ~ C,则A ~ C .,相似变换矩阵。,1. 矩阵的对角化,,2 A~B,A与B 均为n阶方阵,性质5.2.1,证明,定义 如果矩阵A相似于对角矩阵,就称A可对角化.,P 1AP diag1, 2,  , n.,矩阵P称为将A对角化的变换矩阵, P的每一列是A 的特征向量,而对角矩阵的主对角元恰为A的特征值.,,A的n个线,  , n所组成 的矩阵就是变换矩阵 P, 但要注意1, 2,  , n的 排列顺序必须与1, 2,  , n的排列顺序相对应.,推论5.2.1 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不 相等,则 A 必可对角化,反之不一定成立。,,A能否对角化,例5,解,若能对角化,,得基础解系即线性无关的特征向量为,所以 可对角化。,注意,即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应.,矩阵可对角化的应用,,,见P82 例5.2.3,思考题,思考题答案6或,

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