金沙手机版58588x) 是一次连续可微的二元函数

当前位置:金沙手机版58588 > 金沙手机版58588 > 金沙手机版58588x) 是一次连续可微的二元函数
作者: 金沙手机版58588|来源: http://www.aidenlayout.com|栏目:金沙手机版58588

文章关键词:金沙手机版58588,随机积分方程

  声明:百科词条人人可编辑,词条创建和修改均免费,绝不存在官方及代理商付费代编,金沙手机版58588请勿上当受骗。详情

  随机积分是对某些随机过程类适当定义的各种积分的总称。它们在随机过程与随机微分方程的研究和应用中各有其重要的作用。

  随机分析(Stochastic Analysis)主要研究现代随机积分和随机微分方程。现代鞅论是随机积分的基础,

  这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续,但几乎所有的样本函数非有界变差,甚至处处不可微,因而无法按样本函数来定义通常的黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称RS积分)或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(简称LS积分)。

  t∈R+= 【0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗运动W={W(t),t∈R+} 是鞅。如果样本连续的有界随机过程φ={φ(t),t∈R+}是适应的,金沙手机版58588那么当有限区间【α,b】嶅R+的分割随机积分 的直径PI噬菌体共转导频率

  的均方极限存在,记作随机积分,它称为φ在区间【α,b】上对W 的伊藤积分。值得注意的是,在达布和的构造中,被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点,而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在,如作其他的限制,则可能得到另外的极限,从而定义出另外的积分,但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式:设F是二次连续可微的实函数,则这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如,

  可以用来证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理:一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件,是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅。

  的鞅x={x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅,其中x(∞)是当t→∞时,x(t)以概率1 收敛的极限。对一个平方可积鞅x,-x2是类(D)上鞅,因此根据上鞅分解定理,x 2仅可表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和,X 2(t)=M(t)+A(t)。由此,对任何样本连续的有界适应过程 φ,当[α,b)]的分割的直径δ(墹)趋于零时,达布和随机积分的均方极限存在,这个极限就称为φ 在【α,b)】上对x的

  右边最后一项是按轨道的LS积分,可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。

  在伊藤积分定义的达布和中,如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ(或者等价地, 用在两个区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ(tk-1),则均方极限也存在,但此极限与伊藤积分不相同,它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分,记作

  和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x,即对一切t0∈R+满足随机积分的x,达布和的均方极限存在,它定义了x在区间【α,b)】上的均方,记作其中是【α,b】的分割,sk可在【tk-1,tk】上任取,均方极限是在δ(墹) 趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程,即对一切那么对任一[α,b]上的连续函数ƒ,达布和的均方极限定义了ƒ在[α,b]上对Z的积分,记作。金沙手机版58588这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示(见平稳过程)。

  称为伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x) 是一次连续可微的二元函数,W是布朗运动,X是待求的半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx(t) = α(t,x(t))dt + σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示,习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究,解的存在唯一

  性问题已经解决,并且有各种形式的推广,如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例,如对x(0) = 1,α(s,x) = 0,σ(s,x) = x,方程

  此外,对于均值函数为零的实二阶过程x(见随机过程),可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)=Ex(s)x(t) 二次连续可微,则差商 [x(t+Δt)-x(t)]/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在,它定义了x的一阶均方导数随机积分。一般地,若 Г(s,t)2n次连续可微,则x的n阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程,如

  等,称为均方随机微分方程。求解它,就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如

  在初值x(0)=ξ下的唯一解是其中α是实常数,ξ为已知的随机变量,Y为已知的均方连续随机过程,而积分是均方随机积分。

  J.L.Doob,Stochastic Processes,John Wiley & Sons.New York,1953.公式15严加安编著:《鞅与随机积分引论》,上海科学技术出版社,上海,1981。

  郭庆, 李世楷, 周华任. 实值可料过程关于集值Wiener过程的伊藤积分[J]. 解放军理工大学自然科学版, 2005, 6(1):98-102.

  王建国. 二参数可测过程关于平方可积鞅的随机积分[J]. 工程数学学报, 1993(1):125-126.

网友评论

我的2016年度评论盘点
还没有评论,快来抢沙发吧!