金沙手机版58588对 满足如下条件: (1) 关于 可测

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  金融随机方法 何林:helinmail@ 金融随机方法 何林:helinmail@ * 第八章 随机积分与随机微分方程 * 目录 均方分析 Ito随机积分 Ito公式 Ito随机微分方程 * 均方分析 二阶矩过程 设 为一随机过程,若 则称 为二阶距过程。金沙手机版58588 均方连续 设二阶距过程 ,对 则称 在 均方连续。 * 均方分析 均方连续 例 对于Poisson过程 ,可以证明 在 上均方连续。 由 得到。 布朗运动 ,金沙手机版58588 所以 * Ito随机积分 假设 设随机过程 ,对 满足如下条件: (1) 关于 可测。 (2) 关于 可测,即 (3) 满足此假设的函数全体记为 * Ito随机积分 定义 Ito积分 设 为标准布朗运动, 任取 令 若 均方极限存在,则称 为 关于 在 的Ito积分。 * Ito随机积分 例 布朗运动的轨道性质表明 * Ito随机积分 Ito积分性质 记 有 (1) (2) (2)’ (3) (4) (5) (6)Doob极大值不等式。令 * Ito随机积分 Ito积分性质 鞅表示定理 若 是鞅, 则必存在唯一的自适应过程 ,满足 * Ito随机积分 例 求 解 令 记 则 因此, 即 * Ito随机积分 例 求 解 由布朗运动的轨道性质 即 所以 * Ito随机过程与Ito公式 定义 设随机过程 满足如下的Ito积分,对 有 写成等价Ito微分形式, 其中, 是二元连续函数,且对 则称X为Ito随机过程。 Ito随机积分方程 Ito随机微分方程 * Ito随机过程与Ito公式 Ito公式 定理 设 满足上述Ito随机积分方程, 是二元函数,具有连续偏导数 令 则过程 也是随机过程,且对 满足如下的Ito积分方程。 等价的Ito微分形式 * Ito随机过程与Ito公式 Ito公式 例 用Ito公式求 * Ito随机微分方程 常系数的线性随机微分方程 例 设 满足Ornstein-Uhlenbeck方程 求 解 将方程化为 两边从 到 积分,有 * Ito随机微分方程(习题) 简单的线性齐次随机微分方程 B-S模型。 设 为t时刻某种股票的价格,满足如下的随机微分方程 解 令 令 金融随机方法 何林:helinmail@ 金融随机方法 何林:helinmail@

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